Решите предел с подробным решением

Question 1

Question 2

Вспоминаем, что такое факториал.
(3n-1)! = 1*2*3*...*(3n-1)
(3n+1)! = 1*2*3*...*(3n-1)*3n*(3n+1)
(3n)! = 1*2*3*...*(3n-1)*3n = (3n-1)! * 3n

В числителе вынесем за скобки
(3n-1)! + (3n+1)! = 1*2*3*...*(3n-1) + 1*2*3*...*(3n-1)*3n*(3n+1) =
= 1*2*3*...*(3n-1) * (1 + 3n*(3n+1)) = (3n-1)! * (9n² + 3n + 1)

Подставляем
$\lim_{n \to \infty} \frac{(3n-1)!+(3n+1)!}{(3n)! (n-1)} =\lim_{n \to \infty} \frac{(3n-1)! * (9 n^{2} + 3n + 1)}{(3n-1)! * 3n(n-1)} =$
$=\lim_{n \to \infty} \frac{9 n^{2} + 3n + 1}{3n(n-1)} =\lim_{n \to \infty} \frac{9 n^{2} + 3n + 1}{3 n^{2} -3n} =$

Разделим числитель и знаменатель на n²
$=\lim_{n \to \infty} \frac{9 + \frac{3}{n} + \frac{1}{ n^{2} } }{3- \frac{3}{n}} =\frac{9 + \frac{3}{oo} + \frac{1}{ oo^{2} } }{3- \frac{3}{oo}} = \frac{9+0+0}{3-0} = \frac{9}{3} =3$

AssignFile_zn · Answer 1 · 2018-05-16T15:40:50+0000

Вспоминаем, что такое факториал.
(3n-1)! = 1*2*3*...*(3n-1)
(3n+1)! = 1*2*3*...*(3n-1)*3n*(3n+1)
(3n)! = 1*2*3*...*(3n-1)*3n = (3n-1)! * 3n

В числителе вынесем за скобки
(3n-1)! + (3n+1)! = 1*2*3*...*(3n-1) + 1*2*3*...*(3n-1)*3n*(3n+1) =
= 1*2*3*...*(3n-1) * (1 + 3n*(3n+1)) = (3n-1)! * (9n² + 3n + 1)

Подставляем
$\lim_{n \to \infty} \frac{(3n-1)!+(3n+1)!}{(3n)! (n-1)} =\lim_{n \to \infty} \frac{(3n-1)! * (9 n^{2} + 3n + 1)}{(3n-1)! * 3n(n-1)} =$
$=\lim_{n \to \infty} \frac{9 n^{2} + 3n + 1}{3n(n-1)} =\lim_{n \to \infty} \frac{9 n^{2} + 3n + 1}{3 n^{2} -3n} =$

Разделим числитель и знаменатель на n²
$=\lim_{n \to \infty} \frac{9 + \frac{3}{n} + \frac{1}{ n^{2} } }{3- \frac{3}{n}} =\frac{9 + \frac{3}{oo} + \frac{1}{ oo^{2} } }{3- \frac{3}{oo}} = \frac{9+0+0}{3-0} = \frac{9}{3} =3$