1) Пусть a и b - катеты треугольника, c - его гипотенуза. По условию, площадь треугольника S=a*b/2=60, а c=√(a²+b²)=17. Получена система уравнений:
a*b=120
√(a²+b²)=17, или
a*b=120
a²+b²=289
Из первого уравнения находим b=120/a. Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем уравнение a²+14400/a²=289, или a⁴-289*a²+14400=0. Пусть a²=t, тогда получаем квадратное уравнение t²-289*t+14400=0. Дискриминант D=(-289)²-4*1*14400=25921=161². Тогда t1=(289+161)/2=225, t2=(289-161)/2=64. Подставляя теперь вместо t a², получили два уравнения:
a²=225
a²=64
Так как a>0, то из первого уравнения находим a=15, тогда b=120/15=8.
Из второго уравнения находим a=8, тогда b=120/8=15. В обоих случаях больший катет треугольника равен 15 см. Ответ: 15 см.
2) Пусть a и b - стороны прямоугольника, тогда его периметр P=2*a+2*b. По условию, 2*a+2*b=66, а площадь прямоугольника S=a*b=272. Получена система уравнений:
a+b=33
a*b=272
Из первого уравнения находим b=33-a. Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем уравнение a*(33-a)=272, или -a²+33*a=272, или a²-33*a+272=0. Дискриминант D=(-33)²-4*1*272=1=1². Тогда a1=(33+1)/2=17, a2=(33-1)/2=16. Тогда b1=33-a1=16, b2=33-a2=17. В обоих случаях ширина прямоугольника=16 см. Ответ: 16 см.