Пример : УсловиеДоказать, что нет такого числа в
последовательности 11, 111, 1111, 11111,.....
которое является квадратом целого
числа.
ПодсказкаНайдите последнюю цифру числа,
квадрат которого мы ищем. Что можно
сказать о предпоследней цифре
числа.
Решение 1-ое
решение. Если квадрат некоторого
числа оканчивается на 1, то само
число может оканчиваться на 1 или
9, т.е. число можно записать
в виде a=10*n+1
или a=10n+9,
если числа указанного вида
возвести в квадрат, то
предпоследняя цифра будет четной, а
последняя цифра данных чисел 1,
следовательно, данные числа не
являются квадратами.
2-ое решение.
Числа, данные в условии, можно
записать в виде 11+100n
и заметить, что при делении
на 4 получим остаток 3.
Квадрат четного числа при делении
на 4 дает остаток 0,
а квадрат нечетного числа при
делении на 4 дает остаток 1
(воспользуйтесь формулой
возведения в квадрат чисел вида 2n+1),
следовательно, числа указанного
типа не являются квадратами.