В треугольнике АBC, AB = 4√2, ‹ A = 45°, ‹ C = 30° найти S треугольника

Question

В треугольнике АBC, AB = 4√2, ‹ A = 45°, ‹ C = 30° найти S треугольника

Answer 1

из соотношения А+В+С=180 градусов и формулы приведения для синуса

sin B=sin (180-(A+C))=sin (A+C)

из формулы синуса суммы и значений табличных углов

sin B=sin (30+45)=sin30cos45+sin45cos30=1/2*корень(2)/2+корень(3)/2*корень(2)/2=

=(корень(2)+корень(6))/4

 

из теоремы синусов имеем

AB/sin C=AC/sin B

AC=AB/sin C*sin B

AC=4*корень(2)/(1/2) *(корень(2)+корень(6))/4=2*2*(1+корень(3))=4*(1+корень(3))

 

Площадь треугольника равна половине произведения его двух сторон на синус угла между ними

S=1/2 AB*AC*sin A=1/2 *4*корень(2)*4*(1+корень(3))*корень(2)/2=8*(1+корень(3))

Answer 2

 А+В+С=180 теорема  синусов
sin B=sin (180-(A+C)=sin (A+C)
sin B=sin (30+45)=sin30cos45+sin45cos30=1/2 * 2^2/2 *2^2/2=
=2^2+2^2/4
из теоремы синусов имеем
AB/sin C=AC/sin B
AC=AB/sin C*sin B
AC=4*2^2/1/2+6^2/4=2*2*(1+3^2)=4*(1+3^2)
S треугольника равна половине произведения его двух сторон на синус угла между ними
S=1/2 AB*AC*sin A=1/2 *4*2^2*4*(1+3^2)*2^2/2=8*(1+3^2)