Короткая версия:
Постулат: у параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам. Это условие необходимое и достаточное
т.к. AMCN - параллелограмм, то OM=ON и АО=ОС. Соответственно, OM=ON=MB=ND и OB=OD. В четырехугольнике ABCD АО=ОС и OB=OD. Значит, ABCD - параллелограмм