3) m² + n² + 1 ≥ m + n + mn
m² - m + n² - n + 1 - mn ≥ 0
0,5m² - m + 0,5 + 0,5n² - 0,5n + 0,5 + 0,5m² - mn + 0,5n² ≥ 0
0,5(m - 1)² + 0,5(n - 1)² + 0,5(m - n)² ≥ 0
(m - 1)² + (n - 1)² + (m - n)² ≥ 0
Сумма квадратов трёх чисел будет принимать неотрицательные значения, значит, неравенство верно при любых m и n.
4) a² + b² + c² > 2(a + b + c) - 4
a² + b² + c² > 2a + 2a + 2c - 4
a² - 2a + b² - 2b + c² - 2c > -4
a² - 2a + 1 + b² - 2b + 1 + c² - 2c + 1 > -1
(a - 1)² + (b - 1)² + (c - 1)² > -1
Сумма трёх квадратов всегда будет больше отрицательного числа, значит, неравенство верно при любых a, b и c.