Женя расставил по кругу числа от 1 до 10 в некотором порядке а Дима в каждый промежуток между числами вписал их сумму могло ли так случится что все написанные Димой числа оказались различными??
Не теряя общности можно расположить числа по кругу в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4,...10.Обозначим попарные суммы чисел через s1=1+2, s2=2+3, s3=3+4,...s9=10+9, s10=10+1 и предположим, что все эти суммы s1, s2,...s10 различны. Имеем ряд нечетных чисел, начинающийся с тройки. Видно, что наименьшая из попарных сумм s1=3 стоит на первом месте, тогда как наибольшая s9=19 на предпоследнем. Поскольку ряд до предполедней позиции равномерно растет, сумма, идущая на последнем месте s10=11 будет где-то повторяться. Т. о. все попарные суммы не могли оказаться различными.
Ответ: Нет.
Да, такое может быть. К примеру последовательность 2, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Получаем s1=3, s2=4, s3=7, s4=9, s5=11, s6=13, s7=15, s8=17, s9=19, s10=12(!). Ииии !ура! ни одно из чисел не повторяется!
Да, верный пример!