Эта задача есть в задачнике Кудрявцева под номером 15.21, правда, без решения и без указаний. Вот моя попытка решения. Она основывается на известном утверждении, что сумма первых n членов гармонического ряда может быть примерно сосчитана по формуле C+ln n, где C - эйлерова постоянная, значение которой нас сейчас не интересует. Ошибка вычислений стремится к нулю при росте n. Возьмем частичную сумму ряда, в которую входят m положительных групп и m отрицательных. В конечной сумме мы имеем право переставлять слагаемые, поэтому можем рассмотреть сначала сумму всех положительных членов, входящих в эту частичную сумму, а потом сумму отрицательных. Сначала положительные:
Конечно, всюду надо добавлять бесконечно малую, но лень. Предполагается, что она там стоит.
Переходим к отрицательным:
Остается взять разность полученных выражений:
