Напишите уравнение параболы y=ax в квадрате + вх+с которая проходит через точку А (0,1)...

Так как парабола проходит через точки А и В, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению параболы.Значит, подставив эти координаты в уравнение, получим верные равенства.
$y=ax^2+bx+c\\A(0,1)\; \to \; \; 1=a\cdot 0+b\cdot 0+c\; \; \to \; \; c=1\\B(1,-2)\; \to \; \; -2=a\cdot 1+b\cdot 1+c\; ,\; -2=a+b+1\; ,\; a+b =-3$
Ещё известно, что абсциссу вершины (по условию абсцисса точки В(1,-2) можно найти из формулы
$x=\frac{-b}{2a}=1\; \; \to \; \; -b=2a\; ,\; b=-2a$
Подставим b=-2а в полученное равенство а+b=-3 , а+(-2а)=-3 , -а=-3,
а=3 ---> b=-2*3=-6
Тогда уравнение параболы имеет вид:
$y=3x^2-6x+1$