Детально объясните эквивалентные переходы в уже готовом решении. Особенно интересуют...

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1. Сначала по методу математической индукции мы проверяем это выражение для n = 1 - базисное значение, а потом предполагаем, что равенство равно и для некоторых k элементов.
2. Записываем его для k элементов.
3. Теперь записываем его для шага индукции, то есть для k+1 элементов.
$C^{1}_k + 2C^{2}_k + 3C^3_k + kC^k_k + C^{k+1}_{k+1} = (k+1)2^{k+1-1}$
$C^k_n -$ это коэффициент, использующийся в биноме Ньютона.
1 Формула: $C^{n+1}_{k+1} = C^{n+1}_{k}+C^n_k$ тоже взята из свойств бинома Ньютона, а точнее его связи с треугольником Паскаля.
2. Формула: $\Sigma C^k_n = 2^n$ - это тоже свойство биноминальных коэффициентов, суммирование по k.
Так как равеноство $C^{1}_k + 2C^{2}_k + 3C^3_k + kC^k_k = k2^{k-1}$ выполняется гарантировано, то теперь запишем для k+1 по-новому:
$k2^{k-1} + (k+1)C^{k+1}_{k+1} = (k+1)2^k$
$k2^{k-1} + C^{k+1}_{k} + C^k_k = (k+1)2^k$
$k2^{k-1} + 2^k + C^{k+1}_k = (k+1)2^k$
$C^{k+1}_k = C^k_k$ - по правилу симметрии, которое тут опустили как раз.
Получается:
$k2^{k-1} + C^k_k(k+1) = (k+1)2^k$
$kC^k_k + C^k_k + k2^{k-1} = (k+1)2^k$
$k2^{k-1} + k2^{k-1} + 2^k = (k+1)2^k$
$2k2^{k-1} + 2k = (k+1)2^k$
$k2^k + 2^k = (k+1)2^k$
Что и требовалось доказать. Биноминальные коэффициенты и их свойства.

luntoly_zn (3.6k баллов) 17 Май, 18