Помогите пожалуйста решить xy'-5y=x^3

Перепишем уравнение в следующем виде: $y'- \frac{5y}{x} =x^2$
Данное дифференциальное уравнение является линейным, неоднородным.
1) Найдем для начала общее решение соответствующего однородного уравнения:
$y'-5 \frac{y}{x} =0$
Это уравнение ни что иное как уравнение с разделяющимися переменными
$\frac{dy}{dx}= \frac{5y}{x}$ ⇒ $\frac{dy}{y} = \frac{5dx}{x}$
Интегрируя обе части уравнения, получим общее решение
$y=Cx^5$

2)Примем константу за функцию, т.е. $C=C(x)$ , тогда имеем
$y=x^5+C(x)$ и дифференцируя по х, имеем $y'=C(x)5x^4+C'(x)x^5$
Подставим в исходное уравнение
$5x^4C(x)+C'(x)x^5-5 \frac{C(x)x^5}{x} =x^2\\ \\ 5x^4C(x)+C'(x)x^5-5C(x)x^4=x^2\\ \\ C'(x)x^5=x^2\\ \\ C'(x)= \frac{1}{x^3} \\ \\ C(x)=- \frac{1}{2x^2}+C_1$

Общее решение: $y=Cx^5=(- \frac{1}{2x^2}+C_1 )x^5=C_1x^5-0.5x^3$