Дифференциальные уравнения, помогите решить!

Это ДУ с разделяющимися переменными. Найдем его решение.
$e^{x-y}y'=1\\\\ \frac{e^x}{e^y} * \frac{dy}{dx}=1 \\\\* \frac{dy}{e^y} =\frac{dx}{e^x}\\\\ \int \frac{dy}{e^y} =\int \frac{dx}{e^x}\\\\ \int e^{-y}dy=\int e^{-x}dx\\\\ -\int e^{-y}d(-y)=-\int e^{-x}d(-x)\\\\ \int e^{-y}d(-y)=\int e^{-x}d(-x)\\\\ e^{-y}= e^{-x} +C\\\\ \frac{1}{e^{y}} =e^{-x} +C \\\\ e^{y}= \frac{1}{e^{-x}+C} \\\\ ln e^{y}= ln \frac{1}{ e^{-x}+C} \\\\y=- ln (e^{-x}+C)$
Решим задачу Коши для у(1)=1.
$y(1)=- ln (e^{-1}+C)\\\\- ln (e^{-1}+C)=1\\\\ ln \frac{1}{(e^{-1}+C)} =1\\\\ \frac{1}{(e^{-1}+C)} =e\\\\e* \frac{1}{(e^{-1}+C)} =1\\\\e=e^{-1}+C\\\\C=e-e^{-1}=e- \frac{1}{e} = \frac{e^2-1}{e} \\\\ y=-ln( \frac{1}{e^x} +\frac{e^2-1}{e})$