Он уснул, убаюканный тихой музыкой.
Убаюканный - деепричастие, поэтому ставим запятую.
Ведущая к морю тропинку внезапно оборвалась.
Т.к. причастие поставлено в начале предложения, запятую не пишем.
Внезапно обрушившееся здание напугало всех.
Ситуация схожа с предыдущим предложением.
На земле лежало поваленное ветром дерево.
Запятая тут не пишется, ибо нет смысла её сюда вставлять.
Насквозь промокший щенок сидел на улице и ныл.
Аналогична ситуация с 2 и 3 предложениями.