X² = 9y² + 6xy
x² - 6xy - 9y² = 0
x² - 6xy + 9y² - 18y² = 0
(x - y)² - 18y² = 0
(x - y - 3√2y)(x - y + 3√2y) = 0
x = y(1 + 3√2) = 0 или x = y(1 - 3√2)
Чтобы x получился рациональным, необходимо, чтобы y был иррациональный или равен нулю. Но по условию задачи y - натуральное число, а нуль и иррациональные числа не являются натуральными числами.
Значит, уравнение не имеет решений в натуральных числах.