Петя придумал два трёхзначных числа УРА и ЮМШ, причём все цифры У, Р, А, Ю, М, Ш различны...

Question

Петя придумал два трёхзначных числа УРА и ЮМШ, причём все цифры У, Р, А, Ю, М, Ш
различны и не равны нулю. Посчитав произведение УРА · Ю · ММ · ШШШ, он обнаружил, что оно
равно квадрату целого числа. Чему может равняться число ЮМШ, если его цифры расположены
в порядке возрастания? Найдите все возможные варианты.

Answer 1

Во-первых, числа ММ и ШШШ - делятся на 11 и на 111.
ММ = М*11, ШШШ = Ш*111 = Ш*3*37.
Числа 11, 3 и 37 тоже все взаимно простые.
Значит, число УРА делится на 37 и 11. Таких чисел всего два: 407 и 814.
Буквы Ю, М, Ш - хотя бы одно из них делится на 3.
А если УРА = 814 = 37*11*2, то одно из Ю, М, Ш делится еще и на 2.
Возьмем Ю = 2, М = 3, ММ = 33 = 3*11, тогда Ш = 9.
Потому что число 999 = 9*111 = 9*3*37
Получаем числа
УРА = 814 = 2*11*37
Ю = 2 (число 2 повторилось)
ММ = 33 = 3*11 (11 повторилось)
ШШШ = 999 = 9*3*37 (числа 3 и 37 повторились, 9 = 3*3 - квадрат)
ЮМШ = 239
Теперь произведение
814*2*33*999 = (11*37*2*3*3)^2 = (11*18*37)^2 = 7326^2