Найдите площадь фигуры, ограниченной данной параболой и осью абсцисс:

Найдем точки пересечения графика функции $f(x)=-2(x-3)^2+2$
с осью ОХ.
Это точку будут являться пределами интегрирования
$-2(x-3)^2+2=0 \\ -2( x^{2} -6x+9)+2 =0 \\ (-2 x^{2} +12x-16)=0$

Корни уравнения
$x_{1}=2; x_{2}=4$

Тогда

$S = \int\limits^4_2 {(-2 x^{2} +12x-16)} \, dx = -2 \int\limits^4_2 {(x^{2} -6x+8)} \, dx =$

$= -2 ( \frac{x^3}{3} | \limits^4_2 {-3x^2|_2^4+8x|_2^4) =$

$= -2 ( \frac{4^3}{3} - \frac{3^3}{3} -3*4^2 + 3*2^2 + 8*4 - 8*2) =$

$= -2 ( \frac{4^3}{3} - \frac{2^3}{3} -3*4^2 + 3*2^2 + 8*4 - 8*2) = -2* \frac{56}{3} + 40 =$

$= 40 - \frac{112}{3} =3 - \frac{1}{3} = 2 \frac{2}{3} \approx 2.667$ кв. ед.