х^4+5х^3+4х^2-5х+1=0

$x^4+5x^3+4x^2-5x+1=0\\ \\ x^4-2x^2+1+2x^2+5x(x^2-1)+4x^2=0\\ \\ (x^2-1)^2+5x(x^2-1)+6x^2=0\,\,\, |:x^2\ne 0\\ \\ \bigg( \dfrac{x^2-1}{x}\bigg)^2 +5\cdot\dfrac{x^2-1}{x}+6=0$

Введём замену. Пусть $\dfrac{x^2-1}{x}=t$ , тогда получаем

$t^2+5t+6=0$

По т. Виета:

$t_1=-3;\,\,\, \\ t_2=-2$

Обратная замена

$\dfrac{x^2-1}{x}=-3\\ \\ x^2+3x-1=0\\ D=9+4=13\\ \\ x_{1,2}= \dfrac{-3\pm \sqrt{13} }{2}$

$\dfrac{x^2-1}{x}=-2\\ \\ x^2+2x-1=0\\ \\ (x+1)^2=2\\ \\ x_{3,4}=-1\pm \sqrt{2}$