Докажите, что для любого натурального числа n справедливо равенство:...

Докажем методом математической индукции

1) докажем справедливость для n=1

$\displaystyle 2*3= \frac{1(1+6+11)}{3}\\6= \frac{18}{3}\\6=6$

2) предположим что равенство справедливо для n=k. Докажем что оно будет справедливо для n=k+1

Рассмотрим левую часть равенства:

$\displaystyle 2*3+3*4+...+(k+1)(k+2)+(k+2)(k+3)=\\= \frac{k(k^2+6k+11)}{3}+(k+2)(k+3)=\\ \frac{k(k^2+6k+11)+3(k+2)(k+3)}{3}=\\= \frac{k^3+6k^2+11k+3k^2+15k+18}{3}=\\= \frac{k^3+9k^2+26k+18}{3}= \frac{(k+1)(k^2+8k+18)}{3}$

теперь рассмотрим правую часть

$\displaystyle \frac{(k+1)((k+1)^2+6(k+1)+11)}{3}= \frac{(k+1)(k^2+2k+1+6k+6+11)}{3}\\= \frac{(k+1)(k^2+8k+18)}{3}$

левая и правая части равны

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.