X² + xy = 10
xy + y² = 15
Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:
3x² + 3xy = 30
2xy + 2y² = 30
Приравняем левые части:
3x² + 3xy = 2xy + 2y²
3x² + xy - 2y² = 0
Перед нами однородное уравнение. Разделим на y²:
3(x/y)² + (x/y) - 2 = 0
Пусть t = x/y.
3t² + t - 2 = 0
3t² + 3t - 2t - 2 = 0
3t(t + 1) - 2(t + 1) = 0
(3t - 2)(t + 1) = 0
3t - 2 = 0 или t + 1 = 0
t = 2/3 или t = -1
Обратная замена:
1) x/y = 2/3
x² + xy = 10
x = 2/3y - подставляем во второе уравнение
4/9y² + 2/3y² = 10
10/9y² = 10
x = 2/3y
1/9y² = 1
x = 2/3y
y² = 9
x = 2/3y
y = -3
x = -2
или
y = 3
x = 2
2) x = -y
x² + xy = 10
x = -y
x² - x² = 10
x = -y
0 = 10 - неверно ни при каких x и y ⇒ нет решения
Ответ: (-2; -3), (2; 3).