Решите задание ...........................................

Question

Дан 1 ответ

аноним · Answer 1 · 2018-05-17T06:12:42+0000

А) Данное уравнение - дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной. Также это уравнение с разделяющимися переменными.
   $\displaystyle \frac{dy}{dx} =- \frac{y}{x} ;~~\Rightarrow~~ \frac{dy}{y}=- \frac{dx}{x} ;~\Rightarrow~~ \int\limits \frac{dy}{y}=-\int\limits \frac{dx}{x} \\ \\ \ln|y|=-\ln|x|+\ln C\\ \\ y= \frac{C}{x}$

Найдем частное решение, подставляя начальное условие в общее решение данного дифференциального уравнения:
   $1= \dfrac{C}{1} ~~\Rightarrow~~~ C=1$

$\boxed{y= \frac{1}{x} }$ - Частное решение

б) Очевидно, что данное дифференциальное уравнения является однородным,т.к. выполняется для него условие
$y'= \dfrac{\lambda y}{\lambda x} \ln \dfrac{\lambda y}{\lambda x} ;~~~\Rightarrow~~~~y'= \dfrac{y}{x} \ln \dfrac{y}{x}$

Введём замену. Пусть $y=ux$ , тогда по правилу дифференцирования произведения имеем $y'=u'x+u$

$\displaystyle u'x+u= \frac{ux}{x} \ln\dfrac{ux}{x};\,\,\,\, \Rightarrow~~ u'x +u= u\ln u ;~~\Rightarrow~~u'x=u(\ln u-1)$

   $\displaystyle \int\limits\frac{du}{u(\ln u-1)} = \int\limits \frac{dx}{x} ;~~\Rightarrow~~ \int\limits \frac{d(\ln u-1)}{\ln u-1} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \\ \\ \ln|\ln u-1|=\ln |x|+\ln C\\ \\ \ln u-1=Cx\\ \\ \boxed{\ln \frac{y}{x} =Cx+1}$

Задание 3. $y'- \frac{y}{x} =x^3$
Это дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, линейное неоднородное.
Применим метод Бернулли
Пусть $y=uv$ , тогда по правилу дифференцирования произведения $y'=u'v+uv'$ , имеем
   $u'v+uv'- \dfrac{uv}{x} =x^3\\ \\ u'v+u\bigg(v'- \dfrac{v}{x} \bigg)=x^3$

1. $v'-\dfrac{v}{x} =0$ - уравнение с разделяющимися переменными.
$\displaystyle \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{v}{x} ;~~~\Rightarrow~~~ \int\limits \frac{dv}{v} = \int\limits \frac{dx}{x} ;~~~\Rightarrow~~~ v=x$

2. Поскольку второе слагаемое равно нулю, то имеем
$u'x=x^3\\ \\ u'=x^2;~~~\Rightarrow \displaystyle u= \int\limits x^2dx= \frac{x^3}{3}+C$

Общее решение линейного неоднородного уравнения: $y=x\bigg(\dfrac{x^3}{3}+C \bigg )= \dfrac{x^4}{3}+Cx$