Трехзначное число разделили ** 9. в результате сумма его цифр уменьшилась ** 9. сколько...

Question

Трехзначное число разделили на 9. в результате сумма его цифр уменьшилась на 9. сколько всего трехзначных чисел обладает таким свойством?

Answer 1

Раз число поделилось на 9, то по признаку делимости на 9, его сумма цифр была кратна 9. Значит после уменьшения ее на 9, сумма цифр нового числа тоже будет кратна 9 и не равна 0, т.е. и новое число делится на 9, а исходное число делилось на 81 и имело сумму цифр 18 или 27 (27=9+9+9 - максимально возможная сумма цифр трехзначного числа). Трехзначные числа кратные 81 это числа вида 81k, при k=2,...,12, т.е. 162, 243, 324, 405, 486, 567, 648, 729, 810, 891, 972. Из них сумму цифр равную 18 имеют только 486, 567, 648, 729, 891, 972. После деления их на 9 получаются числа 54, 63, 72, 81, 99, 108. Нам нужны те числа, у которых сумма цифр уменьшилась до 9, т.е. все, кроме  числа 9*99=891. Итак, ответ: 5 чисел 486, 567, 648, 729, 972

Answer 2

Чтобы число  делилось на 9 необходимо,  чтобы сумма его цифр делилась на 9, поэтому сумма его цифр может быть равна  

или 27, 

или 18, 

или 9.

 

1) Если сумма его цифр равна 27, то это число 999, после деления на 9 в частном 111.

Сумма цифр числа 111 равна 3.

27 – 3 = 24 сумма его цифр уменьшится на 24, а по условию должно быть на 9.

Вывод: сумма его цифр 27 не подходит!

 

2) ) Если сумма его цифр равна 18, то  после деления на 9 сумма цифр частного  равна:

18 – 9 = 9

Рассмотрим варианты, когда сумма цифр трехзначного числа равна 18, а сумма цифр частного при делении на 9. будет равна 9.

Варианты частных с суммой цифр 9  при делении трёхзначного числа  на 9 таковы:

18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90;108.

 

А теперь, зная частное, найдём трёхзначное число, у которого сумма цифр равна 18.

         18*9=162 В числе 162 сумма цифр 1+6+2=9 ≠  18
         27*9=243 В числе 243 сумма цифр 2+4+3=9 ≠  18
         36*9=324 В числе 324 сумма цифр 3+2+4=9 ≠  18
         45*9=405 В числе 405 сумма цифр 4+0+5=9 ≠  18
         54*9=486 В числе 486 сумма цифр 4+8+6=18  - подходит

         63*9=567 В числе 567 сумма цифр 5+6+7= 18  - подходит
         72*9=648 В числе 648 сумма цифр 6+4+8= 18 - подходит
         81*9=729 В числе 729 сумма цифр 7+2+9= 18- подходит
         90*9=810 В числе 810 сумма цифр 8+1+0=9 ≠  18
         108*9=972 В числе 972 сумма цифр 9+7+2= 18 - подходит
         
Под условие подошли всего 5 чисел: 486,567,648,729, 972.

 

3) ) Если сумма его цифр равна 9, то это число 900, после деления на 9 в частном 100.

Сумма цифр числа 100 равна 1.

9 – 1 = 8 сумма его цифр уменьшится на 8, а по условию должно быть на 9.

Вывод: сумма его цифр 9 не подходит!

 Ответ: 486,567,648,729, 972.