Пара натуральных чисел 1≤a<b≤400 называется удивительной, если она обладает следующим...

Question

Пара натуральных чисел 1≤a называется удивительной, если она обладает следующим свойством: для любых нецелых чисел x и y, сумма которых (x+y) целая, число ax+by — нецелое. Сколько существует удивительных пар (a,b)?

Answer 1

Пусть b=a+k, где k≥1. Тогда ax+by=ax+(a+k)y=a(x+y)+ky. 
Если k≥2, то, выбрав x=1-1/k и y=1/k - нецелые, получим, что ax+by=a+1 - целое, значит k может быть только 1. Действительно, при k=1 и любых нецелых х, у получаем ax+by=a(x+y)+y - нецелое, т.к. сумма целого числа a(x+y) и не целого y - всегда не целая. Итак, удивительные пары - это пары вида (а,а+1), где а=1,...,399.

Ответ: 399 штук.