Найдите все действительные решения уравнения: x²+2xsin(xy)+1=0.

$(x+\sin(xy))^2+(1-\sin^2(xy))=0.$

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, поэтому каждое из них равно нулю:

$\left \{ {{1-\sin^2(xy)=0} \atop {x+\sin(xy)=0}} \right.; \left \{ {{\sin(xy)=\pm 1} \atop {x+\sin(xy)=0}} \right. .$

1) $\left \{ {{\sin(xy)=1} \atop {x=-1}} \right.; \left \{ {{\sin y=-1} \atop {x=-1}} \right.; \left \{ {{y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n} \atop {x=-1}} \right.$

2) $\left \{ {{\sin(xy)=-1} \atop {x=1}} \right. ; \left \{ {{\sin y=-1} \atop {x=1}} \right. ; \left \{ {{y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n} \atop {x=1}} \right.$

Ответ: $(\pm 1;-\frac{\pi}{2}+2\pi n);\ n\in Z$