Решите задачу по геометрии под буквами а,б
В правильной шестиугольной призме ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки А до прямой: а) DE, б) D1E1, в) В1С1, г) ВЕ1, д)ВС1, е) СЕ1, ж)CF1, з) СВ1. а) Расстояние от точки А до прямой DE равно: АЕ=√(4-1)=√3. б) Расстояние от точки А до прямой D1E1 равно: АЕ1=√(АЕ²+ЕЕ1²)=√(3+1)=√4=2. в) Расстояние от точки А до прямой В1С1 равно: ОН1=√(ОН²+НН1²)=√(3/4+1)=√7/2. г) В прямоугольном треугольнике АВЕ1(AB=1, BE1=√(BE²+EE1²)=√(4+1)=√5, тогда АЕ1=√(BE1²-АВ²)=√(5-1)=2. Расстояние от точки А до прямой ВЕ1 равно: АР=2*1/√5=2√5/5 (по свойству высоты из прямого угла). д) В треугольнике JBC1 по теореме косинусов: CosC1=(JС1²+BC1²-JB²)/(2*JC*JB) или CosC1=(1+2-2)/(2*1*√2)=1/√2=√2/2. SinC1=√(1-2/16)=√14/4. Расстояние от точки А до прямой ВС1 равно: J1Q=√14/4. е) В треугольнике АЕ1С стороны АЕ1=СЕ1=2, АС=√3. Полупериметр: (4+√3)/2. Тогда площадь этого треугольника равна по Герону: S=√[(4+√3)*√3*√3*(4-√3)]/4 = √39/4. Расстояние от точки А до прямой СЕ1 равно: AN=2S/CE1 = √39/4. ж) В прямоугольном треугольнике АF1С (AN=AF1*AC/CF1 или AN=√6/√5. Расстояние от точки А до прямой СF1 равно: AN=√30/5. з) В треугольнике АB1С стороны АB1=СB1=√2, АС=√3. Полупериметр: (2√2+√3)/2. Тогда площадь этого треугольника равна по Герону: S=√[(2√2+√3)*√3*√3*(2√2-√3)]/4 = √15/4. Расстояние от точки А до прямой СB1 равно: AT=2(√15/4)/√2=√30/4. Второй способ - векторный. Привязываем систему координат к точке А. На рисунке ось 0Z -не видна, так как дан вид сверху. Точки: A(0;0;0) A1(0;0;1) B(-1/2;√3/2;0) B1(-1/2;√3/2;1) C(0;√3;0) C1(0;√3;1) D(1;√3;0) D1(1;√3;1) Е(3/2;√3/2;0) Е1(3/2;√3/2;1) F(1;0;0) F1(1;0;1) а) Уравнение прямой DE: (X-1)/(1/2)=(Y-√3)/(-√3/2)=(Z-0)/0. Или (2X-1)/4=(2Y+√3)/0=Z/0. Тогда направляющий вектор этой прямой р{1/2;-√3/2;0}. Формула для нахождения расстояния между прямой и точкой в пространстве: d=|M0M1*p|/|p| , где Мо - точка ВНЕ прямой, М1- точка прямой (любая) и р- направляющий вектор прямой. В нашем случае M0=A(0;0;0), M1=D(1;√3;0) и p{1/2;-√3/2;0}. Вектор AD{1;√3;0}. Векторное произведение (AD*p) найдем через определитель: | i j k| | 1 √3 0| = i(0) - j(0) +k(-√3) = {0;0;-√3}. | 1/2 -√3/2 0| Имеем: |M0M1*p|=√(0+0+3)=√3 |p|=√(1/4+3/4+0)=1. Тогда искомое расстояние равно d=√3/1=√3. б) Уравнение прямой D1E1: (X-1)/(1/2)=(Y-√3)/(-√3/2 )=(Z-1)/0. р{1/2;-√3/2;0}. M0=A(0;0;0), M1=D(1;√3;1) и p{1/2;-√3/2;0}. Вектор AD1{1;√3;1}. | i j k| | 1 √3 1| = i(√3/2) - j(-1/2) +k(-√3) = {√3/2;1/2;-√3}. | 1/2 -√3/2 0| |M0M1*p|=√(3/4+1/4+3)=√4=2 |p|=√(1/4+3/4+0)=1. Тогда искомое расстояние равно d=2. в) Уравнение прямой В1С1: (X+1/2)/(1/2)=(Y-√3/2)/(-√3/2 )=(Z-1)/0. р{1/2;√3/2;0}. M0=A(0;0;0), M1=B1(-1/2;√3/2;1) и p{1/2;√3/2;0}. Вектор AB1{-1/2;√3/2;1}. | i j k| |-1/2 √3/2 1| = i(-√3/2) - j(-1/2) +k(-√3/2) = {-√3/2;1/2;-√3/2}. | 1/2 √3/2 0| Имеем: |M0M1*p|=√(3/4+1/4+3/4)=√7/2. |p|=√(1/4+3/4+0)=1. Тогда искомое расстояние равно d=√7/2. г) Уравнение прямой ВЕ1: (X+1/2)/2=(Y-√3/2)/0=(Z-0)/1. р{2;0;1}. M0=A(0;0;0), M1=B(-1/2;√3/2;0) и p{2;0;1}. Вектор AB{-1/2;√3/2;0}. | i j k| |-1/2 √3/2 0| = i(√3/2) - j(-1/2) +k(-√3) = {√3/2;1/2;-√3}. | 2 0 1| Имеем: |M0M1*p|=√(3/4+1/4+12/4)=√16/2=2. |p|=√(4+0+1)=√5. Тогда искомое расстояние равно d=2√5/5. д) Уравнение прямой ВС1: (X+1/2)/(1/2)=(Y-√3/2)/(√3/2 )=(Z-0)/1. р{1/2;√3/2;1}. M0=A(0;0;0), M1=B(-1/2;√3/2;0) и p{1/2;√3/2;1}. Вектор AB{-1/2;√3/2;0}. | i j k| |-1/2 √3/2 0| = i(√3/2) - j(-1/2) +k(-√3/2) = {√3/2;1/2;-√3/2}. | 1/2 √3/2 1| Имеем: |M0M1*p|=√(3/4+1/4+3/4)=√7/2. |p|=√(1/4+3/4+1)=√8/2=√2. Тогда искомое расстояние равно d=√14/4. е) Уравнение прямой СЕ1: (X-0)/(3/2)=(Y-√3)/(-√3/2 )=(Z-0)/1. р{3/2;-√3/2;1}. M0=A(0;0;0), M1=С(0;√3;0) и p{3/2;-√3/2;1}. Вектор AС{0;√3;0}. | i j k| | 0 √3 0| = i(√3) - j(0) +k(-3√3/2) = {√3;0;-3√3/2}. |3/2 -√3/2 1| Имеем: |M0M1*p|=√(3+0+27/4)=√39/2. |p|=√(9/4+3/4+1)=√16/2=2. Тогда искомое расстояние равно d=√39/4. ж) Уравнение прямой СF1: (X-0)/1=(Y-√3)/(-√3)=(Z-0)/1. р{1;-√3;1}. M0=A(0;0;0), M1=С(0;√3;0) и p{1;-√3;1}. Вектор AС{0;√3;0}. | i j k| | 0 √3 0| = i(√3) - j(0) +k(-√3) = {√3;0;-√3}. | 1 -√3 1| Имеем: |M0M1*p|=√(3+0+3)=√6. |p|=√(1+3+1)=√5. Тогда искомое расстояние равно d=√30/5. з) Уравнение прямой СВ1: (X-0)/(-1/2)=(Y-√3)/(-√3/2)=(Z-0)/1. р{-1/2;-√3/2;1}. M0=A(0;0;0), M1=С(0;√3;0) и p{-1/2;-√3/2;1}. Вектор AС{0;√3;0}. | i j k| | 0 √3 0| = i(√3) - j(0) +k(-√3/2) = {√3;0;-√3/2}. |-1/2 -√3/2 1| Имеем: |M0M1*p|=√(3+0+3/4)=√15/2. |p|=√(1/4+3/4+1)=√2. Тогда искомое расстояние равно d=√30/4.
