Математика проф уровень 11класс

Question 1

Question 2

Определение производной:
$f'(x_0)= \lim_{\Delta x \to \inft0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
По этой формуле и будем находить производную. Для простоты, вместо х0 будем писать просто х. От этого ничего не изменится, будем подразумевать, что производную берём в точке х (икс).

$y'=( \frac{2}{ \sqrt{x} } )'= \lim_{\Delta x \to \inft0} \frac{ \frac{2}{ \sqrt{x+\Delta x} } - \frac{2}{ \sqrt{x} } }{\Delta x} = 2 \lim_{\Delta x \to \inft0} \frac{ \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+\Delta x} }{ \sqrt{x+\Delta x} \sqrt{x} } }{\Delta x} = \\ \\ = 2 \lim_{\Delta x \to \inft0} \frac{ \sqrt{x} - \sqrt{x+\Delta x} }{\Delta x *\sqrt{x+\Delta x} \sqrt{x} } } =$

$= 2 \lim_{\Delta x \to \inft0} \frac{ (\sqrt{x} - \sqrt{x+\Delta x})(\sqrt{x} + \sqrt{x+\Delta x} ) }{\Delta x *\sqrt{x+\Delta x} \sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{x+\Delta x} )} } = \\ \\ = 2 \lim_{\Delta x \to \inft0} \frac{ x - x - \Delta x }{\Delta x *\sqrt{x+\Delta x} \sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{x+\Delta x} )} } = \\ \\ = 2 \lim_{\Delta x \to \inft0} \frac{- \Delta x }{\Delta x *\sqrt{x+\Delta x} \sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{x+\Delta x} )} } =$

$= 2 \lim_{\Delta x \to \inft0} \frac{- 1 }{\sqrt{x+\Delta x} \sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{x+\Delta x} )} } = -2 \frac{ 1 }{\sqrt{x+0} \sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{x+0} )} } = \\ \\ = -2 \frac{ 1 }{\sqrt{x} \sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{x} )} } = -2 \frac{ 1 }{x*2\sqrt{x} } } = - \frac{1}{ \sqrt{x^3} }}$