Вычислить интеграл (с проверкой):

Question 1

Вычислить интеграл (с проверкой):
$\int\sqrt{2-x-x^{2}}$

Question 2

Воспользуемся формулой

$\int\sqrt{a^2-t^2}dt=\frac{t}{2}\sqrt{a^2-t^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin(\frac{t}{a})+C$

Теперь сам интеграл следует привести к этому виду

$\int\sqrt{2-x-x^2}dx=\int\sqrt{2+0,25-0,25-x-x^2}dx=$

$=\int\sqrt{2,25-(0,25+x+x^2)}dx=\int\sqrt{2,25-(0,5+x)^2)}dx=$

$=\int\sqrt{2,25-(0,5+x)^2)}d(x+0,5)$
Замена t=x+0,5.

$\int\sqrt{2,25-t^2}dt=\int\sqrt{1,5^2-t^2}dt=\frac{t}{2}\sqrt{2,25-t^2}+\frac{2,25}{2}\arcsin\frac{t}{1,5}+C$

Теперь подставим вместо t его значение (x+0,5).

$=\frac{x+0,5}{2}\sqrt{2,25-(x+0,5)^2}+\frac{2,25}{2}\arcsin(\frac{x+0,5}{1,5})+C=$

$=\frac{x+0,5}{2}\sqrt{2-x-x^2}+\frac{9}{8}\arcsin(\frac{2*(x+0,5)}{3})+C=$

$=\frac{x+0,5}{2}\sqrt{2-x-x^2}+\frac{9}{8}\arcsin(\frac{2x+1}{3})+C=$

$=\frac{2x+1}{4}\sqrt{2-x-x^2}+\frac{9}{8}\arcsin(\frac{2x+1}{3})+C=$

А проверку я напишу во вложении. Она сложная, лучше ее отсканированным файлом отправить.

bearcab_zn · Answer 1 · 2018-03-14T09:30:54+0000

Воспользуемся формулой

$\int\sqrt{a^2-t^2}dt=\frac{t}{2}\sqrt{a^2-t^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin(\frac{t}{a})+C$

Теперь сам интеграл следует привести к этому виду

$\int\sqrt{2-x-x^2}dx=\int\sqrt{2+0,25-0,25-x-x^2}dx=$

$=\int\sqrt{2,25-(0,25+x+x^2)}dx=\int\sqrt{2,25-(0,5+x)^2)}dx=$

$=\int\sqrt{2,25-(0,5+x)^2)}d(x+0,5)$
Замена t=x+0,5.

$\int\sqrt{2,25-t^2}dt=\int\sqrt{1,5^2-t^2}dt=\frac{t}{2}\sqrt{2,25-t^2}+\frac{2,25}{2}\arcsin\frac{t}{1,5}+C$

Теперь подставим вместо t его значение (x+0,5).

$=\frac{x+0,5}{2}\sqrt{2,25-(x+0,5)^2}+\frac{2,25}{2}\arcsin(\frac{x+0,5}{1,5})+C=$

$=\frac{x+0,5}{2}\sqrt{2-x-x^2}+\frac{9}{8}\arcsin(\frac{2*(x+0,5)}{3})+C=$

$=\frac{x+0,5}{2}\sqrt{2-x-x^2}+\frac{9}{8}\arcsin(\frac{2x+1}{3})+C=$

$=\frac{2x+1}{4}\sqrt{2-x-x^2}+\frac{9}{8}\arcsin(\frac{2x+1}{3})+C=$

А проверку я напишу во вложении. Она сложная, лучше ее отсканированным файлом отправить.