В заключительном туре математической олимпиады приняло участие 16 восьмиклассников....

Question

В заключительном туре математической олимпиады приняло участие 16 восьмиклассников. Никакие двое из них не набрали одинакового кол-ва баллов.
1) Мог ли учащийся, занявший первое место, набрать 25 баллов, если вместе все участники набрали 281 балл
2) Мог ли учащийся, занявший первое место, набрать 25 баллов, если вместе все участники набрали 219 баллов, но каждый набрал более пяти баллов?
3) Сколько было призеров, если известно, что каждый из них набрал не менее 24 баллов, но не более 30, а вместе они набрали 138 баллов?

Answer 1

1) 15 учеников набрали 281 - 25 = 256 баллов

возьмем сумму чисел меньше 25:

24 + 23 + 22 + ... + 10 = 34*15/2 = 255 < 256 - противоречие

Ответ: не мог

2) 15 учеников набрали 219 - 25 = 194 баллов

возьмем сумму наименьших возможных чисел:

6 + 7 + 8 + ... + 20 = 26*15/2 =  195 > 194 - противоречие

Ответ: не мог

3) 24 + 25 = 49 - сумма двух самых маленьких баллов
49 + 26 = 75 - трех
75 + 27 = 102 - четырех
102 + 28 = 130 (не более 5) - пяти (если добавить еще одного, будет больше 138)

например: 24;  27; 28; 29; 30

Ответ: 5