Lim x-> бесконечность (5x-3/5x+3)^2x(если не сложно, то можно с объяснением? Буду очень...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Неопределённость $1^{oo}$ (1 в степени бесконечность) раскрывается через второй замечательный предел. Но для этого выражение следует привести к виду, когда это можно будет использовать.

$\lim_{x \to \infty} (\frac{5x-3}{5x+3})^{2x}=\lim_{x \to \infty} (\frac{(5x+3)-6}{5x+3})^{2x}=\lim_{x \to \infty} (1+\frac{-6}{5x+3})^{2x}= \\ \\ =\lim_{x \to \infty} (1+\frac{-6}{5x+3})^{ \frac{5x+3}{-6} *\frac{-6}{5x+3}*2x}= \lim_{x \to \infty} ((1+\frac{-6}{5x+3})^{ \frac{5x+3}{-6}})^{ \frac{-12x}{5x+3}}$

Путём несложных преобразований в скобках получили второй замечаетельный предел $\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{1}{x} )^x = e$

$\lim_{x \to \infty} ((1+\frac{-6}{5x+3})^{ \frac{5x+3}{-6}})^{ \frac{-12x}{5x+3}}= \\ \\ \lim_{x \to \infty} ((1+\frac{-6}{5x+3})^{ \frac{5x+3}{-6}})^{ \lim_{x \to \infty} \frac{-12x}{5x+3}}=e^{ \lim_{x \to \infty} \frac{-12x}{5x+3}}$

В показателе неопределённость ∞/∞, для её раскрытия разделим числитель и знаменатель показателя на икс:
$e^{ \lim_{x \to \infty} \frac{-12x}{5x+3}}=e^{ \lim_{x \to \infty} \frac{-12}{5+3/x}}=e^{ \frac{-12}{5+3/oo}}=e^{\frac{-12}{5+0}}=e^{-\frac{12}{5}}$

Ответ: $e^{-\frac{12}{5}}$

AssignFile_zn (43.0k баллов) 17 Май, 18