Докажите, что при a= b+1 выполняется тождество: (a+b) (a^2 + b^2) (a^4+ b^4) (a^8 + b^8)...

0 голосов
72 просмотров

Докажите, что при a= b+1 выполняется тождество: (a+b) (a^2 + b^2) (a^4+ b^4) (a^8 + b^8) (a^16 + b^16)= a^32- b^32

Алгебра (44 баллов) | 72 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ
a^{32}-b^{32} =\\ =(a^{16}-b^{16})(a^{16}}+b^{16})= \\ =(a^8-b^8)(a^8+b^8)(a^{16}}+b^{16})= \\ =(a^4-b^4)(a^4+b^4)(a^8+b^8)(a^{16}}+b^{16})= \\ =(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)(a^{16}}+b^{16}) =\\ =(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)(a^{16}}+b^{16}) \\ \\ (a-b)=(b+1-b)=1 \\ \\ (a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)(a^{16}}+b^{16})= \\ =(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)(a^{16}}+b^{16})
Доказано.
(80.5k баллов)
0 голосов

(a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸+ b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶) = a³² - b³²
Умножим на (a - b)
(a - b)(a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸+ b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶) = (a³² - b³²)(a - b)
Воспользуемся формулой разности квадратов:
(a² - b²)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸+ b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶) = (a³² - b³²)(a - b)
(a⁴ - b⁴)(a⁴ + b⁴)(a⁸+ b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶) = (a³² - b³²)(a - b)
(a⁸ - b⁸)(a⁸+ b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶) = (a³² - b³²)(a - b)
(a¹⁶ - b¹⁶)(a¹⁶ + b¹⁶) = (a³² - b³²)(a - b)
a³² - b³² = (a³² - b³²)(a - b)        (1)
Из условия a = b + 1 получаем, что a - b = 1. Подставляем в равенство (1):
a³² - b³² = (a³² - b³²)·1
a³² - b³² = a³² - b³² - верное тождество 

(145k баллов)
Похожие задачи