В прямоугольном треугольнике , катеты которого СВ и СА равны а и в,проведена прямая,...

Question

В прямоугольном треугольнике , катеты которого СВ и СА равны а и в,проведена прямая, касающаяся описанной около этого треугольника окружности в точке С .Эта прямая пересекает продолжение АВ в точке D.Найдите CD.

Comments

Если катеты равны, то медиана, проведенная к гипотенузе AB, является высотой. Эта медиана является также радиусом описанной окружности. Касательная, проведенная через точку С, перпендикулярна радиусу - следовательно, параллельна гипотенузе AB (не пересекает ее).

---

катеты равны а и b :) а не между собой

---

Пусть a<b; α=∠CAB; тогда CD=(c/2)*tg(2α); c=AB; - гипотенуза. Это просто сразу пишется, тут нет "работы мысли". Дальше легко выразить тангенс удвоенного угла, с учетом tg(α)=a/b; c^2=a^2+b^2; конечно, ответ можно и технически проще получить из подобия DCA и DCB

---

подскажите, где я ошибаюсь в варианте " без работы мысли"? CD нахожу из прямоугольного треугольника, образованного касательной и медианой,являющиеся его катетами, через tg D. CD=(с/2)*tg D.Но угол D=(90 -2альфа).Так? И тогда tgD=ctg(2альфа)

---

у меня получилось CD через ctg

---

Я вроде написал, где какие углы. просто надо подставить: tg(2α) = sin(2α)/cos(2α) = 2*sin(α)*cos(α)/((cos(α))^2 - (sin(α))^2) = 2*tg(α)/(1 - (tg(α)^2) = 2*(a/b)/(1 - (a/b)^2); то есть CD = c*a*b/(b^2 - a^2); как то так...

---

спасибо за ваши два способа решения.Здесь предложено еще одно , третье ,решение.

Answer 1

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. ∠A=∪BC/2
Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой хордой. ∠BCD=∪BC/2
∠BCD=∠A
∠ACD=∠C+∠BCD =90+A

с=√(a^2 +b^2)
sin(A)= a/c
cos(A)= b/c

S(ACD)= bx*sin(90+A)/2 = bx*cos(A)/2
S(ABC)= ab/2
S(BCD)= ax*sin(A)/2

S(ACD)= S(ABC)+S(BCD) <=>
bx*cos(A)= ab +ax*sin(A) <=>
x(b*cos(A) -a*sin(A))= ab <=>
x(b^2 -a^2)/c= ab <=>
x= abc/(b^2 -a^2) <=>
x= ab√(a^2 +b^2) / (b^2 -a^2), b>a

---