Отрезок AC называется перпендикуляром, проведённым из точки A прямой a, если прямые AC и aперпендикулярны.Точка C называется основанием перпендикуляра.От точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. Докажем, что от точки A, не лежащей на прямой BC, можно провести перпендикуляр к этой прямой. Допустим, что дан угол∡ABC. Отложим от луча BC угол, равный данному, и совместим эти углы накладыванием (представим, что сложим лист бумаги с равными углами по стороне BC).Сторона BA совместится со сторонойBA1.При этом точка A наложится на некоторую точку A1.Следовательно совмещается угол∡ACB с∡A1CB.Но углы∡ACB и∡A1CB — смежные, значит каждый из них прямой. ПрямаяAA1 перпендикулярна прямой BC, а отрезок AC является перпендикуляром от точки A к прямой BC.Если допустить, что через точку A можно провести ещё один перпендикуляр к прямой BC, то он бы находился на прямой, пересекающейся сAA1. Но две к одной и той же прямой перпендикулярные прямые должны быть параллельны и не могут пересекаться.Это противоречие, что означает: через данную точку к прямой можно провести только один перпендикуляр.Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаМедиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1. Найти середину стороны;
2. Соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.Все медианы пересекаются в одной точке.Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.Поэтому, для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:
1. Построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);
2. Найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;
3. Соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.У треугольника три угла и три биссектрисы.Все биссектрисы пересекаются в одной точке.Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.Поэтому, для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:
1. Провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);
2. Из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней (перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол 90°) — это и будет высота.Также как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.Высоты треугольника пересекаются в одной точке.Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличается. Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.