В правильном треугольнике радиус описанной окружности равен 2/3 высоты h: R = (2/3)h.
Отсюда h = 3R/2 = 3*4/2 = 6 см.
Тогда сторона а основания равна:
a = h/cos 30° = 6/cos 30° = 6/(√3/2) =12/√3 = 12√3/(√3*√3) = 4√3 см.
Периметр основания равен 3а = 3*4√3 = 12√3 см.
Проекция апофемы на основание - это (1/3)h или R/2 = 4/2 = 2 см.
Апофема равна 2/cos 60° (по заданию) или 2/(1/2) = 4 см.
Площадь боковой проекции равна:
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*12√3*4 = 24√3 см².