Обозначим f(x)=x^4/(x^3-1) = x + x/(x^3-1)
1. Область определения: x не равно 1.
2. Область значений -- выясним позже, при рассмотрении поведения функции (см. п. 11)
3. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
4. Точки пересечения с осями координат, в т. ч. нули.
x=0 => y=0
f(x)=0 => x=0
5. Области знакопостоянства
Функция может менять знак при переходе через нули или критические точки
Нуль: 0; критическая точка x=1.(см. п. 6)
В данном случае критическая точка является простой, поэтому при переходе через неё функция меняет знак. А вот нуль -- чётного порядка (4-го) , поэтому при переходе через него функция не меняет знака.
Двигаемся справа налево по числовой оси:
при x>1 y>0
при 02^(2/3) => f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает
1 f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает
---------------------------------------------
При переходе через x=2^(2/3) f'(x) меняет знак с "-" на "+" => имеем локальный минимум x=2^(2/3); y=(4/3)*2^(2/3)
---------------------------------------------
0 f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает
x<0 => f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает
---------------------------------------------
При переходе через x=0 f'(x) меняет знак с "+" на "-" => имеем локальный максимум x=0; y=0
7. Области выпуклости и вогнутости; точки перегиба.
При x, не равном 1:
f''(x) = -(2*(-1)*3x^2)/(x^3-1)^2 - (3*(-2)*3x^2)/(x^3-1)^3 = 6x^2/(x^3-1)^3 * (x^3-1+3) = 6x^2(x^3+2)/(x^3-1)^3
Двигаясь по оси x справа налево и учитывая кратность корней и критической точки, получаем:
x>1 => f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз
0 f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз
-2^(1/3) f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз
---------------------------------------------
При переходе через x=0 f''(x) НЕ меняет знака => x=0 НЕ является точкой перегиба
---------------------------------------------
x<-2(1/3) => f''(x)<0 => f(x) выпукла вверх
---------------------------------------------
При переходе через x=-2^(1/3) f''(x) меняет знак => x=-2^(1/3) является точкой перегиба; y=-2*2^(1/3)
8. Возможные асимптоты.
Вертикальная x=1, см. п. 6
Горизонтальных нет, т. к. конечного предела f(x) при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, не существует.
Наклонная: y=x, т. к. при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, x/(x^3-1) стремится к плюс нулю (соответственно, график приближается к асимптоте сверху)
9. Симметричность графика.
Осей и центров симметрии нет.
11. количество решений уравнения f(x)=y в зависимости от y -- см. комментарий (здесь не хватает места)