Знайти т. перетину для параболи (1/4*x^2)+1 і кола з центром в т. А (0, 2) і з радіусом 5.

Уравнение данной нам параболы
$y= (1/4*x^2)+1$ ,
уравнение окружности
$x^{2} +(y-2)^2=25$

Решим систему данных уравнений:

$\left \{ {{y= \frac{x^2}{4} +1} \atop {x^{2} +(y-2)^2=25}} \right. \\ \\ x^{2} +(\frac{x^2}{4} +1-2)^2=25 \\ \\ x^{2} +(\frac{x^2}{4} -1)^2=25 \\ \\$

Произведем подстановку

$t=\frac{x^2}{4} \\ \\ 4t +(t -1)^2=25 \\ \\ 4t +t^2-2t+1=25 \\ \\ t^2+2t+1=25 \\ \\ (t +1)^2=25 \\ \\ t+1=б5 \\ \\ t=-1б5 \\ \\ t_1=-6;t_2=4 \\ \\$

Выполним обратную подстановку. Заметим, что для t=-6 нет решений в области действительных чисел. Поэтому остается только корень t=4.

$\frac{x^2}{4}=4 \\ \\ x^{2} =16 \\ \\ x=б4$

$y(4)=4^2/4+1=5 \\ \\ y(-4)=4^2/4+1=5$

Следовательно, данные парабола и окружность имеют две точки пересечения: (4; 5) и (-4; 5).