Ребро правильного тетраэдра равно корню 6 . Найдите радиус шара Вписанный в данный...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на её высоте.

Формула радиуса вписанной окружности для тетраэдра

$r= \frac{a}{2 \sqrt{6} }$

По этой формуле $r= \frac{ \sqrt{6} }{2 \sqrt{6} } = \frac{1}{2} =0,5$

Подробное решение.(см. рисунок вложения)

Обозначим пирамиду SABC, SH - высота пирамиды, SM - апофема.

ОН и ОК - радиусы вписанного шара,

Проведем сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды. При этом сечение шара будет вписанной в угол SМA окружностью.

∆ SHM прямоугольный. НМ - радиус окружности, вписанной в основание АВС пирамиды.

НМ=АМ:3 ( радиус вписанной в правильный треугольник окружности),

Так как тетраэдр правильный и, все его грани - правильные треугольники, их апофемы равны высоте правильного треугольника со стороной √6.

SM=AM=√6•√3/2= $\frac{3 \sqrt{2} }{2}$

Радиус НМ вписанной в основание окружности равен AM/3=√2/2

КM=НM= $\frac{ \sqrt{2}}{2}$

SK=SM-KM=3√2/2-√2/2=√2

∆SHM подобен ∆SKO ⇒

$\frac{SH}{SK}= \frac{MH}{OK}$ ⇒

$\frac{2}{ \sqrt{2}} = \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{OK}$ ⇒

4r=2

r=0,5

Hrisula_zn (228k баллов) 17 Май, 18