В прямоугольном треугольнике периметр равен 24 см а гипотенуза 10 см найдите катеты

Пусть z = 10 см - гипотенуза, x, y - катеты.
Составим пару уравнений.
x² + y² = 100 (по теореме Пифагора)
x + y +10 = 24 или x + y = 14 (из условия про периметр)

Имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\left \{ {{ x^{2} + y^{2} =100} \atop {x+y=14}} \right.$

Из второго уравнения выразим игрек и подставим в первое:
$y=14-x \\ x^{2} +(14-x)^2=100$

Раскрываем скобки, всё переносим в левую часть, приводим подобные, обе части делим на 2:
$2 x^{2} -28x+96=0 \\ x^{2} -14x+48=0$

Решаем через дискриминант:
$x_{1,2} = \frac{14+/- \sqrt{196-4*48}}{2*1} =\frac{14+/- 2}{2} \\ x_{1} =8 \\ x_{2} =6$

Отсюда,
$y_1 = 14-x_1=14-8=6 \\ y_2 = 14-x_2=14-6=8$

Итак, катеты взаимозаменяемы и равны 6 см и 8 см.