Решить методом замечательных пределов

Используем второй замечательный предел, но сначала сделаем некоторые преобразования, чтобы им воспользоваться.

$\lim_{x \to \infty} ( \frac{8+x}{x+10} )^{2x}=\lim_{x \to \infty} ( \frac{(x+10)-2}{x+10} )^{2x}=\lim_{x \to \infty} (1- \frac{2}{x+10} )^{2x}=$

Пусть $t=- \frac{2}{x+10}$ , тогда t→0 и $x=10- \frac{2}{t}$ .

После замены имеем:
$\lim_{x \to \infty} (1- \frac{2}{x+10} )^{2x}=\lim_{t \to \inft0} (1+t)^{2*(10- \frac{2}{t})}=\lim_{t \to \inft0} (1+t)^{20- \frac{4}{t}}=$
$=\lim_{t \to \inft0} (1+t)^{20} * \lim_{t \to \inft0} (1+t)^{- \frac{4}{t}}=1*\lim_{t \to \inft0} (1+t)^{- \frac{4}{t}}=$
$=\lim_{t \to \inft0} ((1+t)^{\frac{1}{t}})^{-4}=(\lim_{t \to \inft0} (1+t)^{\frac{1}{t}})^{-4}= e^{-4}$