Преобразуем данное неравенство:
a^4+b^4 ≥ a^3b+b^3a ≥ ab(a^2+b^2)
(a^2+b^2)^2 = a^4+2a^2b^2+b^4, а (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2,
тогда a^4+b^4 = (a^2+b^2)^2-2a^2b^2, а a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab. Отсюда
(a^2+b^2)^2-2a^2b^2 ≥ ab((a^2+b^2)-2ab)
(a^2+b^2)^2-2a^2b^2 ≥ ab(a^2+b^2) -2a^2b^2
(a^2+b^2)(a^2+b^2)-2a^2b^2 ≥ ab(a^2+b^2) -2a^2b^2
Поскольку a^2+b^2 ≥ ab, (a^2+b^2)^2 ≥ ab(a^2+b^2)
и исходное неравенство доказано.