Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом многоугольнике?

Question

Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом многоугольнике?

Answer 1

Если выпуклый n-угольник имеет k острых углов. Тогда сумма его углов меньше  k * 90(градусы) + (n - k) * 180(градусы). С другой стороны, сумма углов n-угольника равна (n-2) *180(градусы). Поэтому (n-2) *180(градусы) < </span>k * 90(градусы) + (n - k) * 180(градусы), т. е. k < 4. Поскольку k — целое число, k  3. 
Для любого n  3 существует выпуклый n-угольник с тремя острыми углами

Answer 2

Пусть выпуклый n-угольник имеет k острых углов. Тогда сумма его углов меньше k . 90o + (n - k) . 180o. С другой стороны, сумма углов n-угольника равна (n-2) . 180o. Поэтому (n-2) . 180o < k . 90o + (n - k) . 180o, т. е. k < 4. Поскольку k — целое число, k $ \leq$ 3.
Для любого n $ \geq$ 3 существует выпуклый n-угольник с тремя острыми углами (рис.).