СРОЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПОДРОБНО!!!!!

Сначала найдём неопределённый интеграл вашей функции:
$\displaystyle \int{ \frac{1}{xln(x)} } \, dx$
Пусть
$t = ln(x)$
Тогда
$\displaystyle dt = (ln(x))'dx = \frac{1}{x}dx$
Откуда выражаем dx
$dx = xdt$
Подставляем в интеграл:
$\displaystyle \int{\frac{1}{xln(x)}} \ dx = \int \frac{1}{tx}xdt = \int \frac{1}{t}dt = ln(t) + C = ln(ln(x)) + C$
Теперь возвращаемся к определённому интегралу. Определённый интеграл находится по формуле Ньютона - Лейбница:
$\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b) - F(a)$
Где F - это первообразная, то есть проинтегрированная функция. Теперь запишем, что у нас получилось:
$\displaystyle \int\limits^{e^2}_{e} { \frac{1}{xln(x)} } \, dx = ln(ln(x)) \bigg|_{e}^{e^2} = ln(lne^2) - ln(lne) = ln(2) - ln(1) = ln(2)$

Вертикальная черта $F \bigg |_{e}^{e^2}$ означает, что я беру полученную первообразную на определённом участке.