Пусть a,b - катеты. Тогда верны соотношения:
1 = 1/2 * a * b
(√5)² = a² + b²
p = a + b + √5
Преобразуем первое выражения так:
1 = 1/2 * a * b
2 = ab
4 = 2ab
А теперь второе:
(√5)² = a² + b²
(√5)² + 2ab = a² + b² + 2ab
(√5)² + 2ab = (a + b)²
Подставляем результат преобразования первого:
5 + 4 = (a + b)²
9 = (a + b)²
a + b = √9 = 3
И теперь подставляем это в выражение для периметра:
p = 3 + √5
Периметр нашли, теперь попробуем с тангенсом. Вспоминаем, что:
ab = 2
a + b = 3
Решаем эту систему:
a = 3 - b
(3 - b)b = 2
3b - b² = 2
b² - 3b + 2 = 0
D = 9 - 4*2 = 1
b = (3 +- 1) / 2 = {2; 1}
То есть пара {a;b} имеет вид {2;1} - порядок нам не важен, кто из них а, а кто b. Против меньшего угла будет лежать меньшая сторона, т.е. 1, и его тангенс будет: 1/√5