Приклад 1. y=x3+3x2+2x+4
Розв'язання: Алгоритм повного дослідження функції Вам відомий з попередніх публікацій, тож переходимо до аналізу
1) Область визначення функції ОДЗ: xєR, отже
2) Нулі функції: при x=0, y=4.
Графік заданої функції перетинає вісь ординат в точці (0;4).
3) Дослідження на парність:
y(-x)=(-x)3+2(-x)2+2(-x)+4=-x3+2x2-2x+4
функція є ні парною, ні непарною і точно неперіодична.
4) Знайдемо критичні точки функції:
Похідна заданої функції рівна:
Прирівнюємо похідну до нуля
та після розв'язання рівняння визначаємо ординати критичних точок
5) Інтервали зростання та спадання, точки max і min функції:
Для зручності записуємо значення точок та поведінку функції в таблицю
- локальний мінімум функції.
- локальний максимум функції.
Точки перегину шукати не будемо, лише нагадаємо, що для цього потрібно шукати другу похідну функцію, прирівняти її до нуля.
З рівності нулю знайти точки підозрілі на перегин та дослідити знак другої похідної справа та зліва.
6) Асимптоти графік заданої функції не має.
Відповідно до проведеного дослідження виконуємо побудову графіка функції.
В окремих випадках, коли задана складна функція, можете знаходити значення функції в додаткових точках.
Дослідження функції в Мейпл
Наведемо короткий код, який продемонструє наскільки швидко і красиво можна виконати дослідження функції в Мейпл.
Програма собою представляє досить розвинутий математичний пакет для вирішення як студентських задачок, так і завдань з фізики, моделювання, диференціальних рівнянь, статистики і т.д.
Візуалізація коду та відповідей робить Мейпл конкурентом, в порівнянні з аналогічними "солверами".
Спершу занулюємо всі змінні та підключаємо модуль роботи з графіками
> restart; >
with(plots):
Вводимо саму функцію
> y:=x^3+3*x^2+2*x+4;
Знаходимо точку перетину кривою з віссю Ox.
> evalf(solve(y=0,x));
-2,7963219
Evalf служить для округлення до цілих значень, спробуйте забрати його і отримаєте ірраціональні значення коренів кубічного рівняння.
Нас цікавить тільки ціле значення, та як Мейпл видасть Вам ще і два комплексні корені.
Обчислюємо похідну функції
> y1:=diff(y,x);
та з умови рівності похідної знаходимо точки підозрілі на екстремум.
> a:=solve(y1=0,x);
a:=-.4226497307, -1.577350269
Далі визначаємо значення в кожній з точок
> y_1:=subs(x=a[1],y);evalf(y_1);
3,615099821
> y_2:=subs(x=a[2],y); evalf(y_2);
4,384900178
Фрагмент скрішоту коду наведено далі
Для повної картини розмальовуємо фрагменти кривої різними кольорами, там де функція зростає – синім, та між точками екстремуму червоним.
> q1:=plot(y,x=-4..a[2],color=blue,thickness=2):
q2:=plot(y,x=a[2]..a[1],color=red,thickness=2):
q3:=plot(y,x=a[1]..1.5,color=blue,thickness=2):
Вкінці виводимо всі три графіки за допомогою функції display.
Якщо перед цим не підключити модуль командою with(plots) то замість виводу сумарного графіку отримаєте повідомлення про помилку.
display(q1,q2,q3);
Параметр thickness -відповідає за товщину ліній на графіку. Якщо не вказувати його, то по замовчуванню товщина кривих рівна одиниці.
Оскільки ми Вам не запропонуємо неробочого коду, то можете поглянути на результат аналізу.
Провести повне дослідження функції та побудувати графік
Приклад 2. y=4x/(x+1)2