Даны вершины треугольника ABC. Найти: 1. уравнение стороны ab 2. уравнение высоты Ch 3....

0 голосов
161 просмотров

Даны вершины треугольника ABC. Найти:
1. уравнение стороны ab
2. уравнение высоты Ch
3. уравнение медианы am
4. точку n пересечения медианы am и высоты Ch
5. уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне ab
6. расстояние от точки c до прямой ab


Координаты вершин : A(-4;2) B(8;-6); C(2;6)


Математика (253 баллов) | 161 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
A(-4;2), \ B(8;-6), \ C(2;6).


1) Уравнение стороны AB это уравнение прямой, проходящей через точки (-4;2) и (8;-6). Исходя из этого составим систему уравнений:\begin{cases}
 & -4a+b=2 \\ 
 & 8a+b=-6 
\end{cases}
Откуда после вычитания второго из первого получим a=- \dfrac{2}{3} и b= -\dfrac{2}{3}. Получили, что сторона AB задаётся уравнением y= -\dfrac{2}{3} x- \dfrac{2}{3}.


2) Прямые, заданные уравнениями y_1=k_1x+b_1 и y_2=k_2x+b_2 будут перпендикулярны, если k_1\cdot k_2 =-1 , коэффициенты k_1 и k_2 называются угловыми коэффициентами. 
Нам же нужно найти уравнение прямой, которая перпендикулярна прямой y= -\dfrac{2}{3} x- \dfrac{2}{3}. Тогда k_2= \dfrac{-1}{k_1} = \dfrac{-1}{ -\dfrac{2}{3}} =1,5 , где k_2 - это угловой коэффициент прямой CH_C. Получаем, что эту прямую можно записать в виде y=1,5x+b . Теперь, зная, что эта прямая проходит через точку (2;6) , найдём b :
 1,5\cdot2+b=6 , откуда b=3 . Получается, что высота CH_C задаётся уравнением y=1,5x+3.


3) Медиана AM_A делит отрезок BC пополам. Вычислим координаты середины отрезка BC , т.е. точку пересечения медианы со стороной BCM_A\left( \dfrac{2+8}{2}; \dfrac{6+(-6)}{2} \right)=M_A\left(5;0\right) .
Получается, что медиана проходит через точки (5;0) и (-4;2) . Найдём её уравнение по этим данным: 
\begin{cases}
 & a\cdot5+b=0 \\ 
 & a\cdot(-4)+b=2 
\end{cases}
Откуда получаем a= -\dfrac{2}{9} и b= \dfrac{10}{9} .
Значит, медиана задаётся уравнением y= -\dfrac{2}{9} x+ \dfrac{10}{9} .


4) Точку пересечения N медианы AM_A и высоты CH_C найдём, решив соответствующую систему уравнений:

\begin{cases}
 & y=-\frac{2}{9}x+\frac{10}{9} \\ 
 & y=\frac{3}{2}x+3 
\end{cases}\ \ \Leftrightarrow \ -\frac{31}{18}x=\frac{17}{9} \\ \Leftrightarrow \ x=-\frac{34}{31} \ ; \ \ y=\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{34}{31}\right)+3=\frac{42}{31} . 

Получили, что медиана AM_A и высота CH_C пересекаются в точке N\left( -\dfrac{34}{31} ; \dfrac{42}{31} \right) .


5) Семейство прямых, параллельных прямой y= -\dfrac{2}{3} x- \dfrac{2}{3} , выглядит следующим образом: y= -\dfrac{2}{3} x+b. Нам нужно, чтобы эта параллельная прямая проходила через точку (2;6) .
Решаем соответствующее уравнение: 6= -\dfrac{2}{3} \cdot2+b , откуда b= \dfrac{22}{3}
Получили, что нужная нам прямая задаётся уравнением y=- \dfrac{2}{3}x + \dfrac{22}{3} .



6) Расстояние от точки (x_0;y_0) до прямой ax+by+c=0 вычисляется по формуле d = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} . Нам нужно расстояние от точки C(2;6) до прямой y=- \frac{2}{3}x- \frac{2}{3} \ \ \Leftrightarrow \ \ 3y+2x+2=0 .
Подставляем:
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=d%3D+%5Cdfrac%7B%7C2%5Ccdot2%2B3%5Ccdot6%2B2%7C%7D%7B%5Csqrt%7B3%5E2%2B2%5E2%7D%7D+%3D+%5Cdfrac%7B24%7D%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D" id="TexFormula55" title="d= \dfrac{|2\cdot2+3\cdot6+2|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \dfrac{24}{\sqrt{13}}
(334 баллов)