При каком значении натурального числа n,3^{2n + 1} - 2^{2n + 1} - 6^{n}будет составным?

Вопрос: при каких натуральных n число

$A=3\cdot 3^{2n}-3^n\cdot2^n-2\cdot 2^{2n}$ составное.

Для облегчения восприятия обозначим на момент $3^n=a;\ 2^n=b.$ Тогда

$A=3a^2-ab-2b^2=(3a+2b)(a-b)=(3^{n+1}+2^{n+1})(3^n-2^n).$

Первая скобка больше 1 при любом натуральном n, вторая при n=1 равна 1, при больших n она больше 1 (если есть сомнения, распишите ее по формуле n-х степеней:

$3^n-2^n=(3-2)(3^{n-1}+3^{n-2}\cdot 2+3^{n-3}\cdot 2^2+\ldots + 2^{n-1}).$

Таким образом, при всех $n\ \textgreater \ 1$ искомое выражение является составным. При n=1 оно равно 13, то есть является простым.

Ответ: При всех натуральных n, начиная с 2.