Некоторое натуральное число, записанное в системе счисления с основанием x, является...

Question

Некоторое натуральное число, записанное в системе счисления с основанием x, является трехзначным: abcx. В конец этого числа дописали его цифры в том же порядке. Получилось шестизначное число abcabcx. Оказалось, что новое число в 4097 раз больше исходного. Определите основание системы счисления x. В ответе укажите целое число.

Answer 1

Пусть наше число записывается в виде abc. Тогда в системе счисления с основанием x числа abc и abcabc выражаются следующим образом:

 

abc = ax^2 + bx +c (1)

abcabc = ax^5 + bx^4 + cx^3 + ax^2 + bx + c = x^3(ax^2 + bx + c) + (ax^2 + bx + c) = (x^3 + 1)(ax^2 + bx + c) (2)

 

Из условия следует, что (2) должно равняться (1), умноженному на 4097:

 

(x^3 + 1)(ax^2 + bx + c) = 4097*(ax^2 + bx +c) => х^3 = 4096 => х = 16

 

Ответ: основание системы счисления равно 16 (т.е. это шестнадцатиричная система счисления).