1. Решить уравнение
x = √2 — x .
Множество допустимых значений величины х определяется неравенством х < 2. Чтобы среди всех этих значений найти корни нашего уравнения, возведем обе его части в квадрат. В результате получим:
x2 = 2 — х,
x2 + х — 2 = 0,
откуда
x1 = — 2, x2 = 1.
Каждое из двух полученных чисел попадает в множество допустимых значений величины х. Но это еще не означает, что — 2 и 1 — корни данного уравнения. Ведь к уравнению x2 = 2 — х мы пришли путем почленного возведения в квадрат исходного уравнения
x = √2 — x
Но к такому же результату мы пришли бы, если бы почленно возвели в квадрат не это, а другое уравнение
x = —√2 — x
отличное от данного. Следовательно, в результате выполненных преобразований мы можем получить новые, посторонние корни — корни уравнения x = —√2 — x , которые нас в данном случае не интересуют. Вот почему, прежде чем дать ответ к данной задаче, необходимо сделать проверку полученных корней.
При х = — 2 левая часть данного уравнения принимает значение —2, а правая √4 = 2. Поскольку —2 =/= 2, число —2 не есть корень данного уравнения. При х = 1 обе части нашего уравнения принимают значения, равные 1. Поэтому 1 — корень этого уравнения.
Итак, данное уравнение имеет один корень х = 1. Чтo же касается числа —2, полученного нами выше, то оно, как и следовало ожидать, является корнем уравнения
x = —√2 — x .