Сторона квадрата ABCD равна 18 см , M ∈[AB],N∈[BC], так что AM=6см BN=4см Найдите радиус...

(см. рисунок)
Радиус описанной окружности вычисляется по такой формуле:
$\displaystyle R=\frac{abc}{4S}$
То есть наша задача состоит в том, чтобы найти все стороны треугольника, а так же его площадь.

Найдем стороны треугольника по теореме Пифагора.

$MN=\sqrt{MB^2+BN^2}=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}\\\\ND=\sqrt{NC^2+CD^2}=\sqrt{14^2+18^2}=\sqrt{196+324}=\sqrt{520}=2\sqrt{130}\\\\MD=\sqrt{MA^2+AD^2}=\sqrt{6^2+18^2}=\sqrt{36+324}=\sqrt{360}=2\sqrt{90}$

Площадь треугольника можно найти либо по формуле Герона. Либо можно найти площадь квадрата и из него вычесть площадь других треугольников. Давайте найдем площадь по второму варианту.

$\displaystyle S_{MDN}=S_{ABCD}-(S_{AMD}+S_{MBN}+S_{NCD})\\\\S_{ABCD}=18*18=324\\\\S_{AMD}=\frac{1}{2}*6*18=54\\\\S_{MBN}=\frac{1}2*12*4=24\\\\S_{NCD}=\frac{1}2*14*18=126\\\\S_{MDN}=324-(54+24+126)=120$

Наконец, радиус описанной окружности:
$\displaystyle R=\frac{abc}{4S}=\frac{4\sqrt{10}*2\sqrt{130}*2\sqrt{90}}{4*120}=\frac{\sqrt{(5*2)*(5*13*2)*(5*9*2)}}{30}\\\\=\frac{5*3*2\sqrt{13*5*2}}{30}=\frac{30\sqrt{130}}{30}=\boxed{\sqrt{130}}$