4. Вычислите интеграл

Интеграл от степенной функции:
$\int\limits^{27}_{8} { \frac{dx}{ \sqrt[3]{x} } } \, dx = \int\limits^{27}_{8} { x^{- \frac{2}{3} } } \, dx =3 x^{ \frac{1}{3} } |_{8}^{27}=3*27^{ \frac{1}{3} }-3*8^{ \frac{1}{3} }=3*3-3*2=3$

Косинус загоняем под дифференциал, получаем степенную функцию:
$\int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_0 { sinx*cosx } \, dx =\int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_0 { sinx } \, d(sinx) = \frac{1}{2} sin^2x|_0^{\frac{ \pi }{2} }=\frac{1}{2}sin^2 \frac{ \pi }{2} -\frac{1}{2}sin^2 0= \\ \\ \frac{1}{2}*1- \frac{1}{2}*0=\frac{1}{2}$