Решите систему уравнений:²

0 голосов
23 просмотров

Решите систему уравнений:
\left \{ {{xy+z^{2} =2} \atop {yz+ x^{2} =2}} \atop {zx+ y^{2} =2}} \right.²


Математика (15 баллов) | 23 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Xy+z^2=2
yz+x^2=2
zx+y^2=2
-----------------------
Конечно, (1,1,1) - решение, но единственное ли?
Очевидно (-1,-1,-1) - тоже решение.
Вычтем из первого второе
у*(х-z)+(z-х)*(z+х)=0
Если х не равен z, то возможно y=z+x
точно также вычитая из второго третье:
Если х не равен у, то возможно z=у+x
Наконец, из первого третье:
Если z не равен у, то возможно х=у+z
-------------------
Если выполнено одно из условий, вроде,х=у, получим указанные тривиальные решения и , возможно другие, к этому случаю вернемся.
Иначе, решаем систему: х=у+z
                                           z=у+x
                                           y=z+x

 Есть решение (0,0,0), но оно не удовлетворяет  исходной системе.
  Между тем, у этой системы ,  (0,0,0) - единственное решение ( в этом нетрудно убедиться, подставив, например третье во второе и получив
2х=0 и т.д.)
Пусть теперь, например х=у.
Тогда остаются два уравнения  x^2+z^2=2
                                                       xz+x^2=2
Вычитая одно из другого , получим  или z=0 или х=z, если z=0, то х=sqrt(2) или х=-sqrt(2), иначе
получим те же тривиальные решения. Если х=(+-)sqrt(2), то и у=(+-)sqrt(2),
так, что решения (sqrt(2),sqrt(2),0)  и (-sqrt(2),-sqrt(2),0)
Точно также решения (0,sqrt(2),sqrt(2)) и (sqrt(2),0,sqrt(2)) и т.д.

Значит решений всего 8: (1,1,1) ,(-1,-1,-1) , (sqrt(2),sqrt(2),0), (-sqrt(2),-sqrt(2),0),
(0,sqrt(2),sqrt(2)) ,(0,-sqrt(2),-sqrt(2)), (sqrt(2),0,sqrt(2)) и (-sqrt(2),0,-sqrt(2))


 
































(62.2k баллов)