Найти все а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень.

$\ln(xa^2+xa+2x-x^3)=\ln(2x-x^2)\Leftrightarrow \left \{ {{xa^2+xa+2x-x^3=2x-x^2} \atop {2x-x^2\ \textgreater \ 0}} \right. \Leftrightarrow$

$\left \{ {{x(x^2-x-a^2-a)=0} \atop {x\in(0;2)}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{(x^2-a^2)-(x+a)=0} \atop {x\in(0;2)}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{(x+a)(x-a-1)=0} \atop {x\in(0;2)}} \right. ;$

$\left [ {{x=-a} \atop {x=a+1}} \right.$ . По условию исходное уравнение должно иметь ровно 1 корень, поэтому осталось разобрать три случая.

1) $\left \{ {-a\in(0;2)} \atop {a+1\not\in (0;2)}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a\in(-2;0)} \atop {a\not\in(-1;1)}} \right. \Leftrightarrow a\in (-2;-1]$

2) $\left \{ {{a+1\in (0;2)} \atop {-a\not\in(0;2)}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a\in (-1;1)} \atop {a\not\in(-2;0)}} \right. \Leftrightarrow a\in[0;1)$

3) $a+1=-a\in (0;2) \Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}$

Ответ: $a\in (-2;-1]\cup \{-\frac{1}{2}\}\cup [0;1)$